正十二面体の展開図を考える

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正十二面体の展開図

上の子(小1)が、偶然「正十二面体」を目にしました。

「正多面体」と呼ばれるものは正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の5種類のみ。その中でも面が五角形なのは正十二面体だけです。

ぼく
ぼく

これ展開図にしたらどんな形になるのかなあ

上の子
上の子

分かったかも

ぼく
ぼく

えっなんで即答

正十二面体の展開図を作ってみよう

数分後、こんな展開図を作りました。

右に1つ小さい五角形がありますが、最初にこの五角形の紙を1個作って、展開図中の五角形はこの紙のまわりをなぞることで時短しています。よく思いつくなあ…。

考え方の取っ掛かりとしては、正十二面体が上半分と下半分に分けられることに気づいたそうです。

▲この赤線で分けて考える

ぼく
ぼく

どう?これでできそう?

上の子
上の子

できると思うんだけど、上と下のくっつくところがちょっと自信ない。

展開図から立体へ

ということで、この描いた展開図を切り取って、実際に立体を作ってみました。

結果がこちら

一見正十二面体っぽいのですが、奥で五角形が重なってしまうばしょが2か所。そのぶん手前で五角形2個分の空洞ができてしまいました(青と赤で印をつけた部分)。

展開図の改良

そこで、いったんこの展開図を分解して、正十二面体を作ってみます。

▲展開図を半分に切ったところ

 

この2つを合わせていったん正十二面体を完成。それを開くと・・・こんな形に。

 

一見最初の展開図と似ているのですが、ここが違います。

▲左が最初の展開図で、右が今作った正しい展開図

展開図の赤い四角で囲んだ部分が、上と接続している場所が1個左にずれたって感じ。

この1個のずれが、正十二面体になるかならないかの違いになるわけですね。

これを頭の中で組み立てるのは大人でもなかなか難しそう。

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今後の展望

正十二面体を見てからの展開図作りまでの流れ、本人はとても楽しかったようで何よりです。

次に正百面体の展開図を考えようとしていたので、正n面体は5種類しかない証明を教えてやった方がいいかなと思いました。でも展開図作ってみたら自分で気づくかも。できれば僕が教えるより、自分で気づいてほしいけど、まだ難しいかな。

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