2022年キッズBEEファイナル問題4
丸を4つ重ねて、下のようなものようを作りました。
このもようは、13この部分に分かれています。
ここに、1~13の数を1つずつ入れて、それぞれの丸に入っている数の合計が、
どれも38になるようにしたいと思います。
2,4,6,8,10,12はもう書いてあります。
あいている部分に、1,3,5,7,9,11,13をひとつずつ入れましょう。
解答・解説
(てきとうに数字を入れて行っても運よく解ける可能性はありますが、ここでは理論で解いていく方法の1つを紹介します。もっと分かりやすい解き方があるかもしれません。)
1~13の数字の合計は、
$$1+2+3+…+13=78$$
1つの丸には合計38の数字が入るので、4つの丸で合計
$$38×4=152$$
の数字が入ります。
入れた13個の数字の合計が78しかないのに、4つの丸の合計が152と大きくなります。これは、同じ数字が2つ以上の丸に入っているときに、2回以上数えられるためです。
どのマスが何回数えられるか確認しておきます。
下の図のようにA~Gの記号を割り振ると、
それぞれのマスが数えられる回数は、下表の通りとなります。
数える回数 | マス |
1回 | 10,12,F,G |
2回 | 6,8,D,E |
3回 | 2,4,B,C |
4回 | A |
10と12とFとGは1回ずつ数えられるので、22+F+G
6と8とDとEは2回ずつ数えられるので、
(6+8+D+E)×2=28+D+D+E+E
2と4とBとCは3回ずつ数えられるので、
(2+4+B+C)×3=18+B+B+B+C+C+C
Aは4回数えられるので
A+A+A+A
赤字をすべて合計したものが152となります。
A+A+A+A+B+B+B+C+C+C+D+D+E+E+F+G+68=152
A+A+A+A+B+B+B+C+C+C+D+D+E+E+F+G=84
順番を入れ替えて、
(A+B+C+D+E+F+G)+A+A+A+B+B+C+C+D+E=84
一方、A~Gには1,3,5,7,9,11,13のどれかが入るので
A+B+C+D+E+F+G=49となります。これを上の青い式に入れると、
49+A+A+A+B+B+C+C+D+E=84
よって、A+A+A+B+B+C+C+D+E=35となります。
この式のA~Eに数字を色々と当てはめてみると、
Aに1、BとCに3・5、DとEに7・9を入れないと上手くいかないことが分かります。
A=1と決まり、A+B+C+D+E=25であることも分かりました。
下図の赤い丸の中身に注目してみます。
円の中身は38ですから、
$$10+2+4+A+C+D+E=38$$
$$A+C+D+E=22$$
A+B+C+D+Eが25だったので、
B=3だと分かります。よってC=5です。
次に、下図のオレンジ色の円に注目します。
円の中身は38ですから、
$$2+12+8+A+B+C+D=38$$
$$A+B+C+D=16$$
A+B+C+D+E=25ですから、
E=9と分かります。よって、D=7です。
あとは残ったFとGを計算すれば終わりです。
答え:
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