2022年ジュニア算オリ ファイナル問題6【過去問解答・解説 ジュニア算数オリンピック】

2022年ジュニア算オリファイナル問題6

0を含まない、各桁の数字が異なる整数があります。この整数は、次の規則を満たしています。

規則:整数の上から何桁かをどのように取り出しても、取り出したい数は、次の桁の数字の倍数になる。

例えば、421は上から1桁を取り出すと4で、次の桁の数字2の倍数になっています。さらに、上から2桁を取り出すと42で、次の桁の数字1の倍数になっています。よって421は規則を満たしています。

この規則を満たす整数のうち、最も大きいものを求めなさい。

解答・解説

ある数字の右に数字を付けていき、桁数を増やしていきます。

例えば最初が2なら、次は1しか入りません。

すると21ができます。

21=3×7なので、21の右には3か7が来ることになります(213か217ができます)。

213=71×3なので3でしか割れないですが、3はもう使っています。よって、213より大きくは出来ません。

217も、217=7×31ですが7はもう使っているので、217より大きくは出来ません。

このように全通り試していくと、37通り作れますがその中で最も大きいのは

8→4→6→9→3→7→1です。

【以下では一応、7桁が最高であることを示しておきます】

(1)5は途中には出てきません。なぜなら5の倍数は1の位が0か5である必要がありますが、0は無く、5は1回しか使えないためです。

5を使うなら最初しかありません。

5で始めると5→1→3→9の順しか成り立たず、次に数字を付け足せないので、5139が最大となります。

つまり、5を使えば最大4桁となり、もっと大きな桁を目指すならば5は使えません

(2)偶数は1つ左の数字も偶数の時にしか置けません。つまり2,4,6,8は数字の左側に並べるしかありません。このような並び順は8→4→2→6でのみ成立しますが、この時は8→4→2→6→1→3しか作れず、6ケタとなります。それ以外の並び順では、2,4,6,8のうち1個は使えないことになります。

(1)と(2)より、1~9のうち少なくとも2つは使えないので、最大は7桁となります。

答え:8469371

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