2022年ジュニア算オリファイナル問題6
0を含まない、各桁の数字が異なる整数があります。この整数は、次の規則を満たしています。
規則：整数の上から何桁かをどのように取り出しても、取り出したい数は、次の桁の数字の倍数になる。
例えば、421は上から1桁を取り出すと4で、次の桁の数字2の倍数になっています。さらに、上から2桁を取り出すと42で、次の桁の数字1の倍数になっています。よって421は規則を満たしています。
この規則を満たす整数のうち、最も大きいものを求めなさい。
解答・解説
ある数字の右に数字を付けていき、桁数を増やしていきます。
例えば最初が2なら、次は1しか入りません。
すると21ができます。
21＝3×7なので、21の右には3か7が来ることになります（213か217ができます）。
213＝71×3なので3でしか割れないですが、3はもう使っています。よって、213より大きくは出来ません。
217も、217＝7×31ですが7はもう使っているので、217より大きくは出来ません。
このように全通り試していくと、37通り作れますがその中で最も大きいのは
8→4→6→9→3→7→1です。
【以下では一応、7桁が最高であることを示しておきます】
（１）5は途中には出てきません。なぜなら5の倍数は1の位が0か5である必要がありますが、0は無く、5は1回しか使えないためです。
5を使うなら最初しかありません。
5で始めると5→1→3→9の順しか成り立たず、次に数字を付け足せないので、5139が最大となります。
つまり、5を使えば最大4桁となり、もっと大きな桁を目指すならば5は使えません。
（２）偶数は1つ左の数字も偶数の時にしか置けません。つまり2，4，6，8は数字の左側に並べるしかありません。このような並び順は8→4→2→6でのみ成立しますが、この時は8→4→2→6→1→3しか作れず、6ケタとなります。それ以外の並び順では、2，4，6，8のうち1個は使えないことになります。
（１）と（２）より、1～9のうち少なくとも2つは使えないので、最大は7桁となります。
答え：8469371
コメント